Les réponses ci-dessus comprenant des explications pour "Secret Fire" et "Flame of Udûn" sont satisfaisantes et correctes pour autant que je sache, mais le traitement de "Flame of Anor" est massivement spéculatif sans preuve acceptable, et donc terriblement manquant. J'essaierai de répondre à ce que Gandalf entendait manifestement par "Flamme d'Anor", en utilisant un style d'introduction exagérée à un ennemi que Tolkien utilise lorsque Bilbo a rencontré Smaug que tout le monde semble avoir manqué.
La Flamme de Anor est simplement le Soleil et rien d'autre. Plus précisément, c'est l'Aube. Gandalf voulait dire littéralement que il manie le Soleil, et nous savons que son histoire est vraie, de Le Hobbit :
' L'aube vous emmène tous et vous sera la pierre! dit une voix qui ressemblait à celle de William. Mais ce n'était pas le cas. Car juste à ce moment, la lumière est venue au-dessus de la colline, et il y avait un puissant gazouillis dans les branches. William n'a jamais parlé car il se tenait transformé en pierre en se baissant; et Bert et Tom étaient coincés comme des rochers alors qu'ils le regardaient. Et ils sont là encore aujourd'hui, tout seuls, à moins que les oiseaux ne se perchent dessus; pour les trolls ... doivent être sous terre avant l'aube, sinon ils retournent dans les montagnes dont ils sont faits et ne bougent plus jamais ....
'Excellent! dit Gandalf en sortant de derrière un arbre et aidant Bilbon à descendre d'un buisson d'épines. Alors Bilbon comprit. C'était la voix du sorcier qui avait poussé les trolls à se quereller et à se quereller, jusqu'à ce que la lumière vienne et fasse disparaître d'eux.
Gandalf manie le Soleil souvent après sa bataille avec le Balrog. Lorsqu'il est réuni avec Aragorn, Legolas et Gimli à Fangorn, il choisit de le faire tout en étant baigné de soleil, depuis Les Deux Tours :
Ils l'ont tous regardé. Ses cheveux étaient blancs comme la neige au soleil, et sa robe était d'un blanc éclatant; les yeux sous ses sourcils profonds étaient brillants, perçants comme les rayons du soleil; le pouvoir était entre ses mains.
En arrivant à Helm's Deep avec des renforts, nous lisons que l'ennemi est rendu fou par l'approche de Gandalf depuis l'Est au lever du soleil, depuis Les Deux Tours :
Là soudainement sur une crête apparut un cavalier, vêtu de blanc, brillant au soleil levant. [...] Le Cavalier Blanc était sur eux, et la terreur de sa venue remplit l'ennemi de folie.
L'utilisation du lever du soleil par Gandalf n'est guère isolée, et il y a pas mal de passages avec lui arrivant à destination aux premières lueurs, depuis Le Retour du Roi :
Alors Gandalf et Peregrin se dirigèrent vers la Grande Porte des Hommes du Gondor au du soleil levant, et ses portes en fer roulèrent devant eux.
En fait, Gandalf ne révèle jamais Narya jusqu'à la toute fin de l'histoire après qu'Aragorn ait été couronné, la gardant secrète du Ennemi selon les instructions de Círdan, il est donc très peu probable qu'il dise quoi que ce soit au Balrog de Narya. Ce que Tolkien ne nous a pas révélé, il n'a jamais eu l'intention, comme Gandalf se référant à Narya comme "Le Soleil", ce qu'il ne ferait jamais. Narya n'a aucun lien avec le Soleil autre que la coïncidence que Gandalf utilise le soleil, comme il le dit, qui est toujours une lumière blanche, et il se trouve également qu'il possède secrètement Narya, l'anneau rouge, lui donnant une certaine influence sur le feu et la capacité pour allumer les cœurs. Le Soleil et les pouvoirs de Narya ne sont pas liés. Narya n'est pas une arme et Gandalf ne l'utilise pas non plus comme une arme, comme il utilise le Soleil.